cube-studio/aihub/machine-learning/最小生成树(MST)的Prim算法和Kruskal算法.ipynb
YueXin Chen 4ae2af94be
Add Machine Learning Algorithm Files(Part 3 of 4)
Some Jupyter Machine Learning Algorithm File
3 of 4
There may be some bugs, please don't mind.
2022-09-21 09:48:45 +08:00

8.0 KiB
Raw Blame History

最小生成树MST

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的最少的边。

也就是说用原图中有的边连接n个节点保证每个节点都被连接且使用的边的数目最少。

最小权重生成树

在一给定的无向图$G = (V, E) $中,$(u, v) $代表连接顶点$ u $与顶点 $v $的边(即),而 $w(u, v) $代表此边的权重,若存在 $T $为$ E $的子集(即)且为无循环图,使得

$$w(t)=\sum_{(u,v)\in t}w(u,v)$$

的$ w(T) $最小,则此 $T$ 为 $G$ 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

应用:

例如要在n个城市之间铺设光缆主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。

这就需要找到带权的最小生成树

Prim算法

1)、输入:一个加权连通图,其中顶点集合为$V$,边集合为$E$

2)、初始化:$V_{new}= \{x\}$,其中$x$为集合$V$中的任一节点(起始点),$E_{new}= \{\}$,为空;

3)、重复下列操作,直到$V_{new}= V$

  • a.在集合$E$中选取权值最小的边$<u, v>$,其中$u$为集合$V_{new}$中的元素,而$v$不在$V_{new}$集合当中,并且$v∈V$(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

  • b.将$v$加入集合$V_{new}$中,将$<u, v>$边加入集合$E_{new}$中;

4)、输出:使用集合$V_{new}$和$E_{new}$来描述所得到的最小生成树

Kruskal算法简述

假设 $W_N=(V,{E}) $是一个含有n 个顶点的连通网,则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为:

先构造一个只含 n 个顶点,而边集为空的子图,若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点,则它是一个含有 n 棵树的一个森林。

之后,从网的边集 $E$ 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,则将其加入子图,也就是说,将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树;

反之,若该条边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之。

依次类推,直至森林中只有一棵树,也即子图中含有 n-1条边为止。

循环中可加入已加入MST的点的数量的判断有可能提前结束循环提高效率。

下面是hdu1233的源代码一个用Prim算法另一个用Kruskal标准的MST问题。

In [ ]:
#include <cstdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef int weight_t; 

#define SIZE 101

int N;

//图的邻接矩阵
weight_t Graph[SIZE][SIZE];

//各顶点到中间结果的最短距离,始终维护
weight_t D[SIZE];

//标志位
bool Flag[SIZE];

//Prim算法返回MST的长度
weight_t Prim(){
	//初始化数组
	fill(D,D+SIZE,INT_MAX);
	fill(Flag,Flag+SIZE,false);

	//初始化第一个计算的点
	D[1] = 0;

	weight_t ans = 0;

	for(int i=1;i<=N;++i){
		//找出距离中间结果最近的点
		int k = -1;
		for(int j=1;j<=N;++j)
			if ( !Flag[j] && ( -1 == k || D[j] < D[k] ) )
				k = j;

		//将k点加入中间结果
		Flag[k] = true;
		ans += D[k];

		//更新剩余点到中间结果的最短距离
		for(int j=1;j<=N;++j)
			if ( !Flag[j] && Graph[k][j] < D[j] )
				D[j] = Graph[k][j];
	}

	return ans;
}

bool read(){
	scanf("%d",&N);
	if ( 0 == N ) return false;
	
	for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){
		int a,b,w;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
		Graph[a][b] = Graph[b][a] = w;
	}
	
	return true;
}

int main(){
	while( read() ){
		printf("%d\n",Prim());
	}
	return 0;
}
In [ ]:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef int weight_t; 

#define SIZE 101

//并查集结构
int Father[SIZE];
void init(int n){for(int i=0;i<=n;Father[i]=i++);}
int find(int x){return Father[x]==x?x:Father[x]=find(Father[x]);}
void unite(int x,int y){Father[find(y)]=Father[find(x)];}

int N;

//边结构
struct edge_t{
	int s;
	int e;
	weight_t w;
}Edge[SIZE*SIZE/2];
int ECnt = 0;

//重载,用于边排序
bool operator < (edge_t const&lhs,edge_t const&rhs){
	if ( lhs.w != rhs.w ) return lhs.w < rhs.w;
	if ( lhs.s != rhs.s ) return lhs.s < rhs.s;
	return lhs.e < rhs.e;
}

//生成边
inline void mkEdge(int a,int b,weight_t w){
	if ( a > b ) swap(a,b);

	Edge[ECnt].s = a;
	Edge[ECnt].e = b;
	Edge[ECnt++].w = w;
}

//Kruskal算法vn是点的数量en是边的数量返回MST的长度
weight_t Kruskal(int vn,int en){
	init(vn);//并查集初始化
	sort(Edge,Edge+en);//边排序

	weight_t ans = 0;
	for(int i=0;i<en;++i){
		//该边已存在于MST中
		if ( find(Edge[i].s) == find(Edge[i].e) )
			continue;

		//将该边加入MST
		ans += Edge[i].w;
		unite(Edge[i].s,Edge[i].e);
		--vn;

		//MST已完全生成
		if ( 1 == vn ) break;
	}

	return ans;
}

bool read(){
	scanf("%d",&N);
	if ( 0 == N ) return false;
	
	ECnt = 0;
	for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){
		int a,b,w;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
		mkEdge(a,b,w);
	}
	
	return true;
}

int main(){
	while( read() ){
		printf("%d\n",Kruskal(N,ECnt));
	}
	return 0;
}